(FGV - 1976) Dados, num sistema de coordenadas cartesianas, os pontos , e , a equação da reta que passa por pelo ponto médio do segmento é:
a) b) c) d) e)
Alternativa A
(FGV - 1976) Dados, num sistema de coordenadas cartesianas, os pontos , e , a equação da reta que passa por pelo ponto médio do segmento é:
a) b) d) c) e)
(A)
A altura do triângulo equilátero de lado cm. mede:
a) cm b) cm c) cm d) cm e) cm
(E)
Resolução:
Conforme a figura, no triângulo equilátero de lado 3 cm é traçada a altura , que é perpendicular a e divide o segmento no seu ponto médio .Considerando-se o triângulo retângulo , temos: hipotenusa : cateto : cateto : e pelo Teorema de Pitágoras: o valor é satisfeito pela alternativa (E). Observações: ●É importante verificar nas respostas se a unidade de medida confere: centímetros. ●Para unidades de medida-distância consideramos apenas os valores positivos. ●Para quem vai prestar concurso é importante memorizar que a altura de um triângulo EQUILÁTERO de lado é igual a .
(CESCEM) O triângulo tem vértices e . A equação da reta que passa por e pelo ponto médio de é:
a) x = 0 b) y = 0 c) d) e)
(A)
(CESCEM) Considere o triângulo e A equação da reta que passa pelo vértice e pelo ponto médio do lado é:
a) b) c) d) e)
(B)
Determinar a equação da circunferência que tem um diâmetro determinado pelos pontos A (5 , -1) e B (-3 , 7) .
Resolução: O segmento é um diâmetro da circunferência, então o centro da circunferência é o ponto médio de : O raio da circunferência é obtido através da distância AC ou da distância BC. A equação da circunferência de raio e centro é: Resposta:
Dados os pontos A (-3 ; 6) e B (7 ; -1) , determinar as coordenadas do ponto médio do segmento .
Resolução: Se um ponto é o ponto médio do segmento então:
(I) A coordenada é a média aritmética dos valores das coordenadas e (II) A coordenada é a média aritmética dos valores das coordenadas e concluímos que o ponto médio é Resposta:
(OSEC) Se num sistema cartesiano ortogonal no plano, o ponto A (9 ; 4) é um dos vértices de um quadrado inscrito num círculo de centro C (6 ; 0) , então um outro vértice do quadrado poderia ter como coordenadas:
Os pontos médios dos lados de um triângulo são os pontos D (2 ; 1) , E (-6 ; 3) e F (-4 ; -5) . Calcular as coordenadas dos vértices.
(0;9), (4;-7) e (-12;-3)
(MAUÁ) Determinar as coordenadas dos vértices de um triângulo, sabendo-se que os pontos médios de seus lados são: (-2 ; 1) , (5 ; 2) e (2 ; -3) .
(1 ; 6) , (9 ; -2) e (-5 ; -4) .
(ITA - 1979) Considere o triângulo ABC , onde AD é a mediana relativa do lado BC . Por um ponto arbitrário M dosegmento BD , tracemos o segmento MP paraleloa AD ,onde P é o ponto de intersecção desta paralela com o prolongamento do lado AC .Se N é o ponto de intersecção de AB com MP , podemos afirmar que:
a) MN + MP = 2BM b) MN + MP = 2CM c) MN + MP = 2AB d) MN + MP = 2AD e) MN + MP = 2AC
Resolução:
1. é paralelo a e é paralelo a (I) (II) 2. Fazendo a soma (I) + (II): 3. é a mediana relativa ao lado é ponto médio de . 4. Da figura, , então concluimos que:
Resposta:
(D)
(MAPOFEI - 1970) Pelo ponto de coordenadas cartesianas ortogonais ; , com passam duas retas e paralelas aos eixos coordenados (ver figura)
a) Determinar as coordenadas das intersecções de e com a circunferência . b) Determinar a equação da reta , onde é o ponto médio do segmento .
c) Demonstrar analiticamente que as retas e são perpendiculares.
a) , , b) c) basta provar que o produto dos coeficientes angulares de e é igual a -1.
(FUVEST - 1980) A hipotenusa de um triângulo retângulo mede 20 cm e um dos ângulos mede 20°. a) Qual a medida da mediana relativa à hipotenusa? b) Qual a medida do ângulo formado por essa mediana e pela bissetriz do ângulo reto?
Resolução: a)
Seja o triângulo retângulo como na figura, com ângulo de 20° e hipotenusa 20 cm. Consideremos a circunferência de centro circunscrita ao .O ângulo é reto e está inscrito na circunferência, portanto tem medida igual à metade do ângulo central correspondente . Portanto a medida de é 180° (ângulo raso). Conclui-se que a hipotenusa do triângulo, o segmento , é um diâmetro da circunferência de centro , e que (centro) é ponto médio de . Sendo um raio da circunferência, então a medida de é igual à metade da medida do diâmetro . Se BC = 20 cm (hipotenusa - diâmetro) então AM = 10 cm (mediana - raio) b)
Como a e têm a mesma medida, então o é isósceles e portanto: . Sendo bissetriz de de medida 90°, então , donde concluímos que: resposta
a) A medida da mediana relativa à hipotenusa é 10 cm e b) a medida do ângulo formado entre a mediana e a bissetriz do ângulo reto é 25°
(FUVEST - 2015) No triângulo retângulo , ilustrado na figura, a hipotenusa mede 12 cm e o cateto mede 6 cm. Se é o ponto médio de , então a tangente do ângulo é igual a:
a) b) c) d) e)
(B)
Determine x, sendo M o ponto médio de : a) b)
a) 7b)6
Determine AB, sendo M o ponto médio de : a) b)
a) 42b) 24
(PUC CAMP - 1980) Os lados paralelos de um trapézio retângulo medem 6 cm e 8 cm, e a altura mede 4 cm. A distância entre o ponto de instersecção das retas suporte dos lados não paralelos e o ponto médio da maior base é:
a) cm b) cm c) cm d) cm e) nenhuma das anteriores
(D)
(EPUSP - 1951) Dados os pontos e , tomemos sobre a reta um ponto de modo que . Pede-se a equação da reta perpendicular a , a qual passa pelo ponto médio do segmento .
A e B são dois pontos de uma reta e M é o ponto médio de AB . Um móvel percorre essa reta, sempre no mesmo sentido e com movimento uniforme em cada um dos trechos AM e MB . A velocidade do trecho AM é 20 m/s e no no trecho BM é 30 m/s. Determinar a velocidade média entre os pontos A e B .